如果是一个非常大的N <10000000 那么计算出来的N！也是非常大的，现在只需要知道最高位的数字。
通过斯特林公式可以计算。
特林斯公式：
（公式1）
如下是算法：
result = 0.5* log(2*PI*(double)n)/log(10.0) + (double)n* log((double)n/E)/log(10.0);
result -= (int)result;
first_number = exp(result * log(10.0));
以上算法代码计算通过公式表示：
（公式2）
目前已知通过如下计算可以得到最高位：
（公式3）
剩下的就是求N！，虽然N！可以通过特林斯计算，但是计算结果非常大。计算机直接计算会溢出结果，如下执行结果：
可以看出当执行到180的时候结果都已经溢出。
原因应该是在计算N！ 的时候结果直接存储在计算机导致空间不足。
我所不明白的是为什么（公式2）的算法就可以直接计算出结果不溢出，且正确（当然数字过小的话也会有错误，比如0,1,2,3,7,8结果将不正确）。
首先，胡须佬头，已经说的很明白了，原理就是他所说的那个，把原来用lg去求的问题，转换为了ln去求。
我还是给你贴张tu吧：（喜欢数学的都是好样的）
看到啦，其实上面已经验证过了，如果要求5014的最高位，那么可以写成：
最高位 = 5014 / (取整数)1g(5014); (注意类C语言里面，除法，会进行整型截断)
ok，再说正事儿，你那个特林斯公式，假设拿到的阶乘的近似值为X (一大串不管了，简单点儿叫X),
如果想拿到这个数的最高位h,那么有如下计算：
h = X / (int)lgX;
此时，通过特林斯公式，X 已求得，
计算一下“lgX的整数部分”就可以了。
先笼统的算（先不求整部和小数部分，直接算lgX）
lgX = lnX / ln10 (就是你上面把特林斯公式带进去求值的那个式子，哦，你的图还算错了)
得到lgX= result (我化简过了，不信你把那个特林斯公式化简成)
到这里，就明白了，拿到result的整数部分，就能救出lgX的整数部分了，也就能求出最高位h.
而不是你说的“拿到小数部分”。
最后，根据你提供的特林斯公式，得到阶乘factorial的值为：
X 约等于 e^(ln10 * result的整数部分)； （你可以自己从特林斯的公式变形到这一步看看）
貌似也不是你所说的
first_number = exp(result * log(10.0));
再有问题，在讨论？贴出你最终的结果？
最终是通过以10为底的对数log10(xxx)来求其最高位，这个你理解吧？他上面就是通过对数变换把求以10为底的对数转为以e为底的对数 aka: ln(yyy)